Kurt Gödel, de grootste wiskundige van de twintigste eeuw (?!)

Kurt Gödel (1906-1978)

Gödel, wie is dat, vroeg een vriend van mij toen hij de biografie Journey to the edge of reason van Stephen Budiansky over het Oostenrijkse genie op mijn bureau zag liggen. Gödel, wie is dat? Einstein, wie is dat, zou je ook kunnen vragen. Maar dat doet niemand. Want iedereen weet dat Einstein die wat verward ogende Duitser is die met zijn relativiteitstheorie de natuurkunde van de twintigste eeuw op zijn kop heeft gezet. En sommige mensen weten dan ook nog iets als E = mc2 te produceren. Maar Gödel? Gödel?

Goed, eens en voor altijd: Kurt Gödel, geboren op 28 april 1906 in Brünn, Oostenrijk – tegenwoordig zouden we het Brno, Tsjechië noemen – is volgens velen de belangrijkste wiskundige van de twintigste eeuw, de man die met zijn Onvolledigheidsstelling de hele wiskunde op zijn kop heeft gezet. Volgens velen. Zelf ben ik geneigd de eerste prijs toe te kennen aan onze eigen Blaricumse grootmeester Luitzen Egbertus Johannes (Bertus) Brouwer – ik leg straks uit waarom – maar Kurt Gödel komt zeker op een goede tweede plaats. Einstein bijvoorbeeld had hem heel hoog zitten. Toen Einstein in Princeton werd gevraagd waarom hij iedere dag naar het Institute for Advanced Studies liep, terwijl hij zijn werk toch net zo goed vanuit huis zou kunnen doen, antwoordde hij: ‘Dan mag ik tenminste iedere dag met Gödel wandelen.’

De Onvolledigheidsstelling

Zijn roem heeft Gödel vrijwel alleen te danken aan zijn Onvolledigheidsstelling. Wat houdt die stelling in? Glad ijs. Eerst even technisch. Het artikel waarin Gödel in 1931 zijn fameuze stelling bewees, had als titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme.

Dat zal niet veel ophelderen. We beginnen helemaal bij het begin. In de wiskunde zijn dat de getallen 0, 1, 2, 3, … enzovoorts. Enzovoorts: we hopen inderdaad dat we op die manier oneindig lang kunnen doortellen. Verder hebben we een paar bewerkingen tussen de getallen nodig zoals optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen. Daarmee kunnen we alle wiskunde maken. Tenminste, als we nog wat regels over gezond redeneren toevoegen, zoals: als B uit A volgt en C uit B, dan volgt C uit A. Deze basiselementen en de redeneerregels vormen de axioma’s van ons wiskundig systeem. En eigenlijk van alle wiskundige systemen: van de Principia Mathematica en alle daaraan verwante systemen. En dat zijn ze zo’n beetje allemaal.

Nu zegt Gödel in zijn stelling: ja, vanuit die axioma’s kun je met je redeneerregels heel veel heel mooie stellingen bewijzen (zoals: er zijn oneindig veel priemgetallen, of: π is niet te schrijven als een breuk van twee gehele getallen). Maar niet alles! Er zijn beweringen die waar zijn, maar die niet met de regels van het systeem zijn te bewijzen. Het systeem is niet volledig. Vergelijk het met een boom met heel veel takken, waarbij iedere tak staat voor een bewering die je uit de axioma’s kunt afleiden. Tussen de bladeren zweven dan nog steeds beweringen die waar zijn maar niet via een tak te bereiken. Hoe verfijnd je je takken ook maakt. Hoe je kunt zien dat die vermaledijde rondzwevende bewering toch waar is terwijl je er niet via een tak kunt komen, dat is een ander verhaal. Daarvoor moet je echt naar het bewijs van de stelling zelf, en dat is knap ingewikkeld. Budiansky heeft er in zijn biografie een appendix van 6 pagina’s voor over, en dan nog raakt hij alleen maar de buitenkant. Verder kun je ook niet gaan in zo’n boek, het hele bewijs is echt moeilijk.

Kurt Gödel als student in 1925

Wiener Kreis

Wie was Kurt Gödel, en hoe kwam hij tot zijn stelling? Daar gaat Budiansky goed voor zitten. Als gezegd, we schrijven Brünn, begin twintigste eeuw. Kurt is geboren voordat het Habsburgse rijk van Oostenrijk en Hongarije in de Eerste Wereldoorlog in elkaar stort. Het was de tijd dat de Keizerlijk-Koninklijke dubbelmonarchie Oostenrijk-Hongarije niet alleen geografisch, maar ook economisch en intellectueel het centrum van Europa was. Na 1918 was er van het Rijk nauwelijks meer iets over, maar Wenen was nog wel de stad waar het intellectueel gebeurde.

Het is die omgeving waar Kurt in 1923 terechtkomt. Op zijn achttiende volgt hij zijn broer Rudolf naar Wenen om daar eerst natuurkunde en later wiskunde te studeren. Hij komt in aanraking met de Wiener Kreis, een groep logici en taalfilosofen waar onder andere Moritz Schlick en Rudolf Carnap deel van uitmaken. Ook Wittgenstein en Brouwer laten er af en toe hun gezicht zien. Budiansky neemt ruim de tijd om dit intellectuele milieu te schetsen. Hij moet wel, want over Gödel zelf is uit die periode weinig bewaard gebleven. Bekend is dat hij regelmatig bijeenkomsten van de Wiener Kreis bijwoont, maar inhoudelijk lijkt hij zich meestal op de achtergrond te houden. Niet vreemd voor een student van begin twintig, maar in retrospect misschien toch vooral een bewijs voor zijn terughoudendheid in sociale situaties. Ook later treedt Gödel, in tegenstelling tot een man als Einstein, maar heel zelden op de voorgrond.

Het is inmiddels 1928 als Gödel in Bologna een lezing van de beroemde Duitse wiskundige David Hilbert bijwoont. Hilbert beweert dat het mogelijk moet zijn om uit de axioma’s van een formeel systeem alle ware beweringen van dat systeem af te leiden. Het is het moment waarop zijn carrière een beslissende wending neemt. Drie jaar later publiceert hij zijn Onvolledigheidsstelling. Hilbert heeft ongelijk. De wereld, of in ieder geval de wiskunde, zou nooit meer hetzelfde zijn.

Naar Princeton

Gödels kostje is gekocht, in één klap is hij wereldberoemd, althans onder wiskundigen. Uitnodigingen stromen binnen, onder andere van het pas opgerichte Institute for Advanced Studies in Princeton, waar ze ook Einstein al hebben weten binnen te halen. In 1933 gaat hij voor het eerst een half jaar naar de Verenigde Staten en in 1939 vertrekt hij definitief. Wenen ziet hij nooit meer terug.

De wereld is intussen drastisch veranderd. Oostenrijk heeft zijn Anschluss bij Duitsland gerealiseerd, de universiteit staat onder Nazi-controle en vooral de ‘Joodse’ wetenschap van de Wiener Kreis moet het ontgelden. Budiansky schetst het met ingehouden verontwaardiging. Ook Gödel – geen Jood, maar toch – kiest eieren voor zijn geld. De manier waarop hij uiteindelijk in Princeton terechtkomt is wel bijzonder. Hij gaat niet ‘linksom’ maar ‘rechtsom’: met de Transsiberië-expres via de Sovjet-Unie naar Japan, met de boot over naar San Francisco en uiteindelijk met de trein door naar de East Coast, een tocht van een paar maanden vol ontberingen. Kurts gezondheid moet het danig ontgelden. Gelukkig is hij in gezelschap van zijn vrouw Adèle Porkert-Nimbursky met wie hij in 1938, na meer dan tien jaar ongehuwd samenwonen, is getrouwd.

Oedipus Gödel

Een gelukkig huwelijk? Als je het aan Kurts moeder Marianne vraagt niet. Toen Gödel Adèle in 1928 ontmoette, was ze gescheiden en dat pleitte al niet voor haar, althans niet bij de gegoede familie Gödel. Maar erger nog, ze verdiende haar geld als danseres in een van variététheaters van Wenen. En bovendien was ze zeven jaar ouder dan Kurt. Een mésalliance, vond Marianne Gödel, die allicht op wat beters voor haar oogappel had gehoopt. Tot vlak voor hun vertrek in 1939 verzette ze zich heftig tegen het huwelijk. Ook vrienden en collega’s van Gödel begrepen niet wat Kurt in deze ‘babbelzieke’ – dixit naaste vriend Oscar Morgenstern – vrouw zag.

Budiansky komt met twee verklaringen. In de eerste plaats is er Gödels seksuele behoefte. Budiansky speculeert er op dit punt aardig op los, waarbij Freud nooit ver weg is. Gödel als Oedipus en moeder Marianne als Iocaste, Budiansky heeft er geen moeite mee. Ook Gödels anale fixatie wordt er, zonder veel bewijsmateriaal, bijgehaald.

In zijn tweede verklaring blijft Budiansky op vastere grond. Hij laat overtuigend zien dat Adèle er altijd voor Kurt was, zeker op momenten dat zijn geestelijke en lichamelijke gezondheid hem in de steek liet. Dat begon al in Wenen, waar hij in 1936 bijna een half jaar in een sanatorium opgenomen is geweest. De eerste tekenen van paranoia dienden zich daar al aan. Gödel had geen enkel vertrouwen in de medicijnen die de artsen hem voorschreven. In Princeton wordt het nog erger, zeker in de jaren zeventig toen hij het al vijftien jaar zonder zijn in 1955 overleden wandelmaatje Einstein moest stellen. Hij vertrouwde, op Adèle na, niemand meer. Zij moest zijn eten voorproeven. Wie weet vergiftigen ze me, hij heeft het echt gedacht. En toen Adèle een keer, moe van vijftig jaar verzorging, naar het ziekenhuis moest, nam hij helemaal geen voedsel meer tot zich. Hij stierf op 14 januari 1978, uitgemergeld. Bij zijn overlijden woog hij nog geen 35 kilo. Een uitgemergeld genie, waar in de laatste jaren van zijn leven ook intellectueel niet veel meer uitkwam. Ja, een bewijs voor het bestaan van God, dat had hij nog wel ergens liggen. Althans, volgens eigen zeggen …

Uitgesloten derde

Is Gödel de grootste wiskundige van de twintigste eeuw? De Onvolledigheidsstelling is een landmark, dat zeker, een stelling waarmee in één klap het ambitieuze programma van Hilbert ten grave werd gedragen. Maar toch even terug naar Brouwer. Bertus Brouwer liet nog voor Gödels Onvolledigheidsstelling zien dat het principe van het uitgesloten derde (Tertium non datur) niet klopte. Dit principe, waar de logica al sinds Aristoteles op rustte, stelde: een bewering A is waar (A) òf hij is niet waar (-­A), een derde mogelijkheid is er niet. Brouwer construeerde een bewering waaraan je principieel niet kunt zien of hij waar of niet waar is. Een derde mogelijkheid, misschien is die er toch, aldus Brouwer. Niet alleen Hilbert zat ernaast, ook Aristoteles en alle logici na hem hadden het mis. De logica, ook de logica, zou nooit meer hetzelfde zijn.

Journey to the edge of reason, the life of Kurt Gödel
Stephen Budiansky
Oxford University Press
ISBN 978-0-886633-6
Verschenen in mei 2021

Bestelinformatie

Bestel als hardcover bij bol.com (€ 26,99)
Bestel als ebook bij bol.com (€ 21,99)

Koop bij Athenaeum Boekhandel

Bestel als hardcover bij Athenaeum Boekhandel (€ 26,99)
Frans Janssen heeft wiskunde gestudeerd aan de Radboud Universiteit Nijmegen. Na zijn studie was hij adviseur onderwijs aan de universiteit en daarnaast werkte hij als freelancer aan het universiteitsblad kunieuws (later: Vox) waarvoor hij onder andere een reeks columns onder de titel De stelling van Gödel publiceerde. Nu werkt hij als literair vertaler Duits-Nederlands.

3 REACTIES

  1. Brouwer liet niet “zien” dat de tertium non datur niet klopte, hij wees dat principe alleen maar af en begon zijn eigen wiskunde/logica te bouwen. Met het principe van uitgesloten derde kom je heel ver in de wiskunde en wiskundigen gebruiken het nog elke dag. Kleine maar belangrijke misser in een verder fijne recensie.

  2. @Suzanna: Dat is een kwestie van perspectief. Als je het aan Brouwer zelf zou vragen, zou hij hebben gezegd dat hij met zijn ‘vliedende rijtjes’ wel degelijk had bewezen dat tertium non datur niet klopte. Dus, consequent als hij was, gebruikte hij het daarna niet meer. En inderdaad, de meeste andere wiskundigen, gingen niet zo ver: zij bewijzen nog dagelijks ‘uit het ongerijmde’. De echte Brouweriaan – veel zijn er tegenwoordig niet meer, maar toch – vindt dat niet acceptabel.

LAAT EEN REACTIE ACHTER

Please enter your comment!
Please enter your name here